1.
Необходимость и сущность
выравнивания (сглаживания) рядов динамики. Методы выравнивания (укрупнение интервалов).
Метод сменного среднего, аналитическое выравнивание. Сравнительная характеристика
и сфера применения.
Задачи:
№ 3(2)
№ 8(3)
№ 10(4)
№ 16(1)
№ 22(8)
№ 24(6)
№ 30(8)
№ 34(4)
№ 40(7)
№ 43(9)
1. Необходимость
и сущность выравнивания (сглаживания) рядов динамики. Методы выравнивания (укрупнение
интервалов). Метод сменного среднего, аналитическое выравнивание. Сравнительная
характеристика и сфера применения
СТАТИСТИКА - это наука о сборе,
классификации и количественной оценке фактов как основы для выводов; наука, которая
изучает количественную сторону массовых социально-экономических явлений и процессов,
их структуру и распределения, размещение в пространстве, движение во времени, выявляет
действующие количественные зависимости, тенденции и закономерности в конкретных
условиях места и времени. Статистика имеет свой предмет исследования. Она изучает
с количественной стороны массовые социально-экономические явления. Статистика также
изучает влияние природных и технических факторов на изменение количественных характеристик
социально-экономических явлений.
Статистическая грамотность является неотъемлемой составной частью профессиональной
подготовки каждого экономиста, финансиста, социолога, политолога, а также любого
специалиста, имеющего дело с анализом массовых явлений, будь то социально-общественные,
экономические, технические, научные и другие. Работа этих групп специалистов неизбежно
связана со сбором, разработкой и анализом данных статистического (массового) характера.
Нередко им самим приходится проводить статистический анализ различных типов и направленности
либо знакомиться с результатами статанализа, выполненного другими.
Объектом статистического исследования
является статистическая совокупность - множество единиц, обладающих массовостью,
однородностью, определенной целостностью, взаимозависимостью состояний отдельных
единиц и наличием вариации.
Изменение социально-экономических
явлений во времени изучается статистикой методом построения и анализа динамических
рядов.
Ряды динамики - это значения статистических показателей,
которые представлены в определенной хронологической последовательности.
Каждый динамический ряд содержит
две составляющие:
1) показатели периодов времени (годы, кварталы, месяцы, дни или даты);
2) показатели, характеризующие исследуемый объект за временные периоды или на соответствующие
даты, которые называют уровнями ряда.
В статистике в анализе динамических рядов важное значение имеют статистические
методы проявления общей тенденции развития явлений. К таким методам относится выравнивание,
сглаживание, смыкание и сопоставление рядов динамики и укрупнение периодов. Эти
статистические методы
находят всё более широкое применение в деятельности оценщиков недвижимости и бизнеса
разных стран. Само определение рыночной стоимости, принятое в нормативных документах
некоторых стран (например, в Единых Стандартах профессиональной оценочной деятельности
США USPAP) и проекте украинских Стандартов по оценке недвижимости как «наиболее
вероятной цены, за которую имущество было бы продано на конкурентном и открытом
рынке…», предопределяет вероятностную природу самого процесса оценки и делает возможным
и необходимым применение оценочных процедур, основанных на принципах вероятностного
статистического анализа. Исследование временных рядов и их прогнозирование не ограничились
сферой оценки недвижимости. При оценке пакета акций одной из крупнейших ТЭС Украины
с применением методологии доходного подхода был использован инструментарий анализа
временных рядов для изучения динамики объёмов производства электро- и теплоэнергии.
Предварительный графический анализ исходных данных производства энергоресурсов показал
наличие их значительной вариации, что, естественно, усложнило задачу установления
тренда и определение его типа. Поэтому было проведено сглаживание временных рядов
производства энергоресурсов, для чего были применены два метода — скользящей средней
и экспоненциального[1] сглаживания. В связи с тем,
что исследовались относительно короткие ряды (с незначительным периодом предыстории),
предпочтение было отдано методу экспоненциального сглаживания с параметром сглаживания
(константой) α = 0,2 − 0,3. Дальнейший анализ состоял в выявлении сезонной
компоненты при производстве теплоэнергии. При этом применялись два подхода, определялась
сезонная компонента, аддитивная тренду, и сезонная компонента, мультипликативная
тренду. Сравнивая результаты применения двух моделей, статисты пришли к выводу о
предпочтительности мультипликативной модели, так как она не потребовала предварительного
удаления тренда.
Беря во внимание все вышесказанное,
смело можно считаем, что корректное применение в оценочной деятельности статистических
методов в конечном итоге приводит к более доказательным результатам (в том числе
и для различных проверяющих органов), нежели в случае применения неформализованного
подхода, формируемого на субъективно-интуитивном уровне.
Итак, возвращаясь к рассмотрению
основных статистических методов в анализе динамических рядов, начнем их изучение.
Выравнивание - метод, при помощи которого получают аналитическое и графическое
выражение статистической закономерности, лежащей в основе заданного эмпирического
ряда статистических данных. Путём выравнивания ломаную линию
уровней эмпирического ряда заменяют плавной «выравнивающей» кривой (в частном случае
- прямой) и вычисляют уравнение этой кривой. При выравнивании последовательно
решают три задачи:
1.
выбирают тип уравнения (форму плавной кривой);
2.
вычисляют параметры (коэффициенты) этого уравнения;
3.
вычисляют (на основании уравнения) или измеряют (по графику кривой)
уровни полученного «теоретического» статистического ряда.
Тип уравнения и, соответственно, форму плавной кривой выбирают на основании
общих сведений о сущности явления, о закономерностях его структуры и развития, о
зависимости между его признаками и т.д. (так называемое «аналитическое выравнивание»). При отсутствии
таких предварительных сведений тип уравнения (форму кривой) часто может подсказать
графическая форма ломаной.
К выравниванию рядов динамики
прибегают, чтобы получить уравнение (и плавную линию), выражающее тенденцию развития
процесса во времени (t). Например: y = a + bt, y = a + bt + ct2 и т.п.
Исключение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью
нахождения «усредненных» значений. А способы устранения случайных факторов делятся
на две больше группы:
1. Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений
ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.
2. Способы «аналитического» выравнивания, т. е. определения сначала функционального
выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.
К методам сглаживания относятся:
·
Метод
усреднения по левой и правой половине - Разделяют ряд динамики на две части, находят
для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки
линию тренда[2] на графике.
·
Метод
простой скользящей средней - Заключается в том, что вычисляется средний
уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем — средний уровень
из такого же числа уровней, начиная со второго, далее — начиная с третьего, и т.д.
Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы скользят по ряду динамики от
его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один
следующий. Отсюда название — скользящая средняя.
·
Метод
взвешенной скользящей средней - Основное отличие от предыдущего метода
состоит в том, что уровни, входящие в интервал усреднения, суммируются с различными
весами, т.к. аппроксимация в пределах интервала сглаживания осуществляется
с использованием уровней, рассчитанных по полиному n-го порядка:
,
где i
порядковый номер уровня интервала сглаживания.
Более совершенным приемом
изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При
изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что
изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения
выражены определенными математическими функциями.
Задачей аналитического выравнивания
является определение не только общей тенденции развития явления, но и некоторых
недостающих значений как внутри периода, так и за его пределами. Способ определения
неизвестных значений внутри динамического ряда называют интерполяцией. Эти неизвестные
значения можно определить:
1)используя полусумму уровней,
расположенных рядом с интерполируемыми;
2) по среднему абсолютному
приросту;
3) по темпу роста.
Вид уравнения определяется
характером динамики развития конкретного явления. Логический анализ при выборе вида
уравнения может быть основан на рассчитанных показателях динамики, а именно:
·
если относительно
стабильны абсолютные приросты (первые разности уровней приблизительно равны), сглаживание
может быть выполнено по прямой;
·
если абсолютные приросты
равномерно увеличиваются (вторые разности уровней приблизительно равны), можно принять
параболу второго порядка;
·
при ускоренно возрастающих
или замедляющихся абсолютных приростах - параболу третьего порядка;
·
при относительно стабильных
темпах роста показательную функцию.
Для аналитического выравнивания
наиболее часто используются следующие виды трендовых моделей: прямая (линейная),
парабола второго порядка, показательная (логарифмическая) кривая, гиперболическая.
Целью аналитического выравнивания
является - определение аналитической или графической зависимости. На практике, по
имеющемуся временному ряду, задают вид и находят параметры функции, а затем анализируют
поведение отклонений от тенденции. Не следует смешивать выравнивание статистических
рядов динамики со сглаживанием статистических рядов.
Одним из наиболее элементарных способов изучения общей тенденции в ряду динамики
является укрупнение интервалов. При использовании этого метода ряд динамики, состоящий из мелких
интервалов, заменяется рядом, состоящим из более крупных интервалов (например, преобразование месячных периодов в квартальные,
квартальных в годовые и т.д.). Или уровни исходного динамического ряда объединяются
по более крупным периодам. Например, сравнивают уровни урожайности не за отдельные
годы, а в среднем по пятилетиям. Особое внимание при этом следует обращать на обоснование
периодов укрупнения. Например, поскольку плодоношение садов в ряде случаев подвержено
периодическим колебаниям, нельзя брать период с нечетным числом лет. При подобных
циклических колебаниях в большинстве случаев интервал берут равным продолжительности
цикла. В общем укрупненный интервал должен обеспечивать взаимное погашение случайных
отклонений уровней.
Так как на каждый уровень
исходного ряда влияют факторы, вызывающие их разнонаправленное изменение, то это
мешает видеть основную тенденцию. При укрупнении интервалов влияние факторов нивелируется,
и основная тенденция проявляется более отчетливо. Расчет среднего значения уровня
по укрупненному интервалу осуществляется по формуле простой средней арифметической.
Недостаток этого способа заключается в том, что сокращается число уровней ряда,
а это не позволяет учитывать изменения внутри укрупненного интервала. Но преимущество
в том, что сохраняется природа явления.
По интервальным рядам итоги исчисляются путем простого суммирования уровней
первоначальных рядов. Для других случаев рассчитывают средние величины укрупненных
рядов (переменная средняя). Переменная
средняя рассчитывается по формулам простой средней арифметической.
Задача № 3
№ магазина
Товарооборот
по плану,
тыс. грн.
Товарооборот фактический, тыс. грн.
Затраты оборота,
тыс. грн.
Количество продавцов
№ магазина
Товарооборот
по плану,
тыс. грн.
Товарооборот фактический, тыс. грн.
Затраты оборота,
тыс. грн.
Количество продавцов
1.
89,0
88
4,8
12
31.
46,2
45,1
2,2
7
2.
29,1
29
2,5
5
32.
67,5
66,3
3,9
7
3.
59,3
60,8
3,2
8
33.
29,6
30,4
1,9
5
4.
135,2
155
6,8
18
34.
31,2
32,1
2,1
5
5.
52,6
53,2
5,8
7,0
35.
156,4
157,2
8,2
20
6.
117,4
120,0
5,3
12
36.
26,8
28,4
1,9
4
7.
20,6
20,0
1,7
3
37.
11,3
11,5
1,1
3
8.
156,6
157,2
9,2
19
38.
7,0
7,4
0,2
3
9.
18,8
19,4
1,6
3
39.
26,8
27,0
1,6
5
10.
94,2
95,4
4,3
13
40.
36,2
38,1
2,1
6
11.
102,6
112,1
5,6
14
41.
41,7
43,2
1,8
6
12.
196,7
198
9,8
22
42.
80,6
80,9
5,8
11
13.
44,9
45,4
2,6
7
43.
52,4
52,5
2,1
7
14.
42,5
43,1
2,4
6
44.
270,6
271
1,5
30
15.
49,4
49,6
2,6
7
45.
43,2
44,0
1,7
6
16.
28,0
28,6
2,5
5
46.
40,2
40,8
2,4
6
17.
89,7
90,6
4,2
7
47.
30,6
30,8
2,5
5
18.
19,8
19,6
1,6
3
48.
16,2
16,3
2,1
3
19.
26,6
27,3
2,1
4
49.
237,2
237,5
3,7
27
20.
31,5
31,9
1,8
5
50.
52,
53
2,4
8
21.
43,2
43,0
2,6
6
51.
68,3
68,9
3,6
10
22.
26,9
28,4
1,5
5
52.
84,6
85,0
4,8
12
23.
14,0
14,4
1,1
3
53.
166,5
166,0
10,2
22
24.
42,8
43,6
2,9
6
54.
179,4
178,1
7,5
24
25.
16,6
16,9
1,5
3
55.
46,3
44,2
3,0
7
26.
40,6
41,2
1,8
5
56.
26,0
26,2
1,5
5
27.
55,5
55,9
2,3
7
57.
41,2
41,8
1,8
6
28.
46,5
46,8
2,6
7
58.
270,8
271,6
1,8
30
29.
60,3
60,0
3,4
9
59.
40,5
40,0
2,2
6
30.
12,6
13,1
0,5
3
60.
237,0
235,6
3,9
28
По данным таблицы
построить групповую таблицу, разбив все магазины торга на 4 группы по уровню выполнения
плана товарооборота:
- магазины,
которые не выполнили план товарооборота;
- магазины, которые выполнили
план на 100-102%;
- магазины, которые выполнили
план на 100-104%;
- магазины, которые выполнили
план более, чем на 104%.
Каждую группу охарактеризуйте
количеством магазинов, объемом розничного товарооборота по плану и фактически в
целом на все магазины и в среднем на один магазин.
Вариант
Номера магазинов, входящие в совокупность
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1-40
3-42
5-44
8-47
10-49
12-51
14-53
15-54
17-56
20-59
Задача № 8
По следующим данным расчитать все возможные виды
относительных величин.
Вариант
Основные фонды предприятий, тыс. грн.
Объем товарной продукции, тыс. грн.
производственные
непроизводственные
Года
2003
2004
2003
2004
2003
2004
1
400
440
190
200
1400
1350
2
250
240
110
115
600
680
3
470
500
240
245
1200
1150
4
340
360
150
160
910
920
5
420
400
140
145
800
700
Задача № 10
По данным о распределении
колхозов по урожайности зерновых культур, которые приведены в таблицы определить
размер посевной площади в среднем на один колхоз, среднюю урожайность зерновых культур
по всем колхозам вместе, моду и медиану.
Урожайность, ц/га
Число колхозов
Посевная площадь в среднем на один колхоз
, га
Вариант
Вариант
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
до 16
12
24
15
21
24
5
24
10
8
21
16-18
20
28
14
45
40
20
26
12
24
26
18-20
30
14
25
24
35
35
10
14
12
14
20-24
10
12
30
40
38
10
12
25
16
9
24-26
8
10
10
12
24
8
18
9
20
12
26-30
12
8
25
20
16
13
6
18
7
8
более 30
3
6
15
16
10
9
4
12
13
10
Задача № 16
Зароботная плата работников, грн/чел.
Количество работников по вариантам
1
2
3
4
5
до 550
46
8
12
20
15
550-600
58
10
28
50
35
600-650
102
15
50
70
60
650-700
70
29
95
85
95
700-750
45
50
25
30
110
750-800
30
22
16
22
45
800-850
24
18
10
17
29
более 850
16
4
7
8
14
Рассчитать все показатели
вариации; на основании коэффициента асимметрии определить форму распределения варианта
в совокупности. Объяснить результаты расчетов.
Задача № 22
По приведенным ниже данными
рассчитать:
а) на сколько абсолютных и
относительных единиц отличался выпуск продукции последнего года данного периода
от выпуска продукции этот же период предыдущего года;
б) выпуск продукции за последний
год данного периода;
в) среднегодовой абсолютный
прирост продукции в данном периоде.
Вариант
Объем выпуска продукции за период предыдущего
года, тыс. грн.
Продолжительность периода, года
Среднегодовой темп прироста объема за
рассмотренный период, %
1
380
4
3,5
2
440
5
-1,8
3
556
5
2,6
4
492
6
- 5,4
5
580
4
- 0,9
6
636
3
- 2,3
7
350
3
- 1,1
8
470
5
- 4,4
9
375
4
1,5
10
915
6
2,7
Задача № 24
По приведенным данным о цепных
темпах прироста реальных прибылей на душу населения (%) рассчитать:
а) среднегодовой темп прироста
за пять лет;
б) среднегодовой абсолютный
прирост реальных прибылей (прибыли на душу населения в 1999 году составили 320 грн.);
в) абсолютное значение одного
процента прироста в 2002 году;
г) среднегодовой темп роста
доходов за исследуемый период;
д) на сколько абсолютных и
относительных единиц изменились реальные прибыли за исследуемый период.
Варианты
Цепные темпы прироста реальных прибылей,
по годам, %
2000
2001
2002
2003
2004
1
- 0,5
1,2
- 4,2
8,3
6,2
2
- 2,4
- 7,2
5,2
6,3
- 0,8
3
5,4
6,2
- 8,9
- 10,2
- 0,7
4
- 0,8
- 6,4
- 5,2
8,3
7,2
5
2,4
5,3
- 0,8
- 6,2
1,3
6
1,8
- 1,9
- 3,8
5,8
0,7
7
1,4
- 0,3
5,2
2,8
- 6,2
8
- 5,2
- 0,7
4,2
6,8
2,3
9
2,8
5,4
- 0,8
- 1,8
- 8,4
10
2,3
2,6
- 0,7
- 4,2
3,2
Задача № 30
По приведенным данным рассчитать
процент изменения средней заработной платы, средней производительности труда, денежных
затрат на производство продукции, зарплатоемкость продукции:
Вариант
Процент изменения
фонда зароботной платы
численность роботников
випуска продукции
себестоимость единицы продукции
1
2,7
4,5
6,6
1,4
2
-8,9
-0,1
-8,1
-3,7
3
3,3
-0,6
1,4
4,5
4
4,2
1,1
-9,2
-2,2
5
-0,8
-0,8
0,6
7,3
6
3,6
7,2
3,3
8,1
7
-2,7
3,3
-1,3
-1,7
8
-5,2
-7,4
9,2
-0,1
9
0,9
2,8
2,4
2,8
10
-6,1
1,5
-0,9
-1,3
Задача № 34
По приведенным ниже данными
рассчитать:
а) индексы средней выработки
на одного работника сменного, постоянного состава и структурных изменений, объяснить
содержание каждого индекса, показать их взаимосвязь;
б) абсолютное изменение средней
выработки за месяц (общую, в частности, за счет изменения средней выработки рабочих
по цехам и структурных изменений в численности работающих), сделать проверку;
в) абсолютное изменение общей
выработки за месяц (общую, и в частности, за счет изменения: продуктивности труда
изменений в структуре численности рабочих предприятия по цехам, общего количества
работающих в двух цехах), сделать проверку:
Вариант
Цех
Средняя выработка на одного работника
за месяц по цехам
ед./чел.
Общая выработка за месяц по цехам,
тыс. ед.
базовый
отчетный
базовый
отчетный
1
1
320
328
15,04
14,76
2
330
336
11,88
13,44
2
1
364
392
12,74
14,88
2
360
370
9,72
9,62
3
1
270
276
5,94
6,90
2
264
280
17,16
17,64
4
1
168
160
7,56
7,52
2
160
176
11,68
13,20
5
1
140
148
4,62
5,18
2
150
156
5,70
5,46
6
1
300
310
10,80
10,54
2
308
312
6,16
7,80
7
1
128
130
13,44
13,52
2
136
140
10,20
10,78
8
1
284
290
19,88
19,14
2
288
300
15,84
17,10
9
1
124
128
8,68
9,60
2
132
136
7,26
6,80
10
1
156
160
11,70
12,32
2
152
156
12,16
12,48
Задача № 40
По приведенным данным о производстве
товаров народного потребления рассчитать:
а) общие индексы затрат труда
на производство всей продукции, трудоемкости продукции и продуктивности труда;
б) абсолютное изменение общих
затрат труда в отчетном периоде в сравнении с базовым (общее и за счет отдельных
факторов). Сделать проверку.
Вариант
Продукция
Общие затраты труда в базовом
периоде,
тыс. чел. час
Абсолютное изменение затрат
труда за отчетный период в сравнении с базовым,
тыс. чел. час
Изменнение затрат труда
на единицу продукции, %
1
А
400
42
- 0,4
Б
250
30
5,2
2
А
80
-14
- 1,8
Б
95
28
3,6
3
А
74
20
4,2
Б
175
25
0,8
4
А
215
-10
- 0,7
Б
186
-24
1,8
5
А
292
-30
- 0,3
Б
308
42
2,6
6
А
196
15
9,4
Б
124
16
5,2
7
А
92
- 8
- 1,8
Б
74
16
- 0,3
8
А
176
- 40
- 5,2
Б
152
24
4,2
9
А
168
- 15
- 2,1
Б
132
12
- 0,7
10
А
141
- 26
12,4
Б
126
24
6,2
Задача № 43
В результате случайного неповторяющегося
отбора рабочих из общего количества в 1000 человек получены такие данные о распределении
рабочих по уровню продуктивности труда (дет/чел).
Группы работников по уровню продуктивности
труда (дет/чел)
Количество работников по вариантам
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
50-60
10
15
12
15
16
17
20
15
16
14
60-70
20
20
16
25
30
41
16
25
30
42
70-80
30
25
38
36
38
39
35
40
24
28
80-90
40
35
35
42
45
50
55
54
45
48
90-100
60
40
30
26
28
30
32
25
24
28
100-110
25
24
24
18
14
15
16
20
18
19
Рассчитать пределы значений
продуктивности труда с вероятностью 0,954 и 0,997, а также доли рабочих с выработкой
80 деталей и больше с вероятностью 0,683 и 0,954.
Список литературы:
1.
Сивец С.А. «Статистические
методы в оценке недвижимости и бизнеса» - Запорожье, 2001
2.
Батуева А.Д., Петецкая
Е.П., Кокарев М.А. Статистика: Учебное пособие для вузов. – Москва, 2008
3.
Филимонов В.С., Гуртовник
Е.А. Практикум по статистике: Учебное пособие. – Москва, 1987
4.
Иода Е.В., Герасимов
Б.И. Статистика: Учебное пособие. – Тамбовский государственный технический университет,
2004
5.
Громыко Г.Л. Теория
статистики: Учебник. – Москва, 2002
6.
Швойлова Р.А. Теория
статистики: Учебник, 3-е издание, Финансы и статистика. – Москва, 2000
7.
Интернет-страница
ООО Центр «БИЗНЕСИНФОРМ» (http://www.binfo.zp.ua/books.shtml#b1 ).
8.
Васнев С.А. Статистика: Учебное пособие. – Москва, 2001
9.
Степанов В.Г. Статистика: Учебное пособие. – Московский институт
экономики, 2007
[1]
При анализе используется константа
сглаживания a, величина которой определяет степень влияния на
прогнозы погрешностей в предыдущем прогнозе.
[2]Тренд - основная тенденция развития
динамического ряда.
,